پاسخ فعالیت صفحه 26 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 1 صفحه 26 حسابان دوازدهم سلام! این فعالیت بر روی مفهوم **دوره تناوب (Period)** در توابع مثلثاتی تمرکز دارد. دوره تناوب، یعنی **طول یک موج کامل**، توسط ضریب $b$ در تابع $y = \sin bx$ تعیین می‌شود. --- ### تکمیل جدول با بررسی نمودارها مقادیر ماکزیمم و مینیمم در تمامی این توابع تغییری نمی‌کند، زیرا ضریب $\sin$ (یعنی دامنه) در تمامی آن‌ها **1** است. تأثیر ضریب $b$ فقط بر **فشردگی یا کشیدگی افقی** (دوره تناوب) است. | تابع | ضریب $b$ | ماکزیمم (Max) | مینیمم (Min) | دوره تناوب (T) | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $y = \sin x$ | $b=1$ | 1 | -1 | $2\pi$ | | $y = \sin 2x$ | $b=2$ | 1 | -1 | $\frac{2\pi}{2} = \pi$ (نمودار فشرده شده) | | $y = \sin (-3x)$ | $b=-3$ | 1 | -1 | $\frac{2\pi}{|-3|} = \frac{2\pi}{3}$ (نمودار فشرده شده) | | $y = \sin \frac{x}{2}$ | $b=\frac{1}{2}$ | 1 | -1 | $\frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$ (نمودار کشیده شده) | | $y = \sin (-\frac{x}{2})$ | $b=-\frac{1}{2}$ | 1 | -1 | $\frac{2\pi}{|-\frac{1}{2}|} = 4\pi$ (نمودار کشیده شده) | --- ### تحلیل نتایج 1. **مقادیر ماکزیمم و مینیمم:** همانطور که مشاهده می‌کنید، ضرب کردن $x$ در عدد $b$، هیچ تغییری در **ارتفاع موج** (ماکزیمم و مینیمم) ایجاد نمی‌کند و مقادیر ماکزیمم 1 و مینیمم $-1$ باقی می‌مانند. 2. **دوره تناوب ($T$):** * ضریب $b$ در داخل تابع، باعث **انبساط یا انقباض افقی** می‌شود. * هرچه $|b|$ بزرگتر باشد، دوره تناوب **کوچکتر** می‌شود (فشردگی افقی). * هرچه $|b|$ کوچکتر باشد، دوره تناوب **بزرگتر** می‌شود (کشیدگی افقی).

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 2 صفحه 26 حسابان دوازدهم بر اساس تحلیل نمودارهای قبلی، تأثیر ضریب $b$ بر پارامترهای اصلی تابع سینوس به وضوح مشخص است. این ضریب به طور مستقیم بر **دوره تناوب (Period)** تأثیر می‌گذارد. --- ### 🌊 پارامترهای تابع $y = \sin bx$ 1. **دوره تناوب ($T$):** * ضریب $b$ در داخل تابع سینوس، نشان‌دهنده یک **انبساط یا انقباض افقی** است. * دوره تناوب تابع $y = \sin bx$ از طریق تقسیم دوره تناوب اصلی ($2\pi$) بر **مقدار مطلق $b$** محاسبه می‌شود. * $$T = \frac{2\pi}{|b|}$$ 2. **مقدار ماکزیمم (Maximum):** * چون ضریب دامنه (ضریب $\sin$) همچنان 1 است، حداکثر مقدار تابع برابر با **1** است. * $$y_{\max} = 1$$ 3. **مقدار مینیمم (Minimum):** * حداقل مقدار تابع برابر با **$-1$** است. * $$y_{\min} = -1$$ | پارامتر | تابع $y = \sin bx$ | |:---:|:---:| | دوره تناوب ($T$) | $\frac{2\pi}{|b|}$ | | مقدار ماکزیمم ($y_{\max}$) | $1$ | | مقدار مینیمم ($y_{\min}$) | $-1$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 3 صفحه 26 حسابان دوازدهم این قسمت تأثیر ترکیب **تغییر دوره تناوب ($b$)** و **انتقال عمودی ($c$)** را بر روی پارامترهای تابع مثلثاتی بررسی می‌کند. --- ### 🚀 پارامترهای تابع $y = \sin bx + c$ تابع $y = \sin bx + c$ همان تابع $y = \sin bx$ است که **$c$ واحد در راستای عمودی منتقل شده است.** 1. **دوره تناوب ($T$):** * افزودن $c$ به کل تابع (انتقال عمودی) بر دوره تناوب تأثیری ندارد. * دوره تناوب توسط ضریب $b$ تعیین می‌شود: * $$T = \frac{2\pi}{|b|}$$ 2. **مقدار ماکزیمم (Maximum):** * مقدار ماکزیمم $y = \sin bx$ برابر 1 بود. با انتقال $c$ واحد به بالا، ماکزیمم جدید به اندازه $c$ افزایش می‌یابد. * $$y_{\max} = 1 + c$$ 3. **مقدار مینیمم (Minimum):** * مقدار مینیمم $y = \sin bx$ برابر $-1$ بود. با انتقال $c$ واحد به بالا، مینیمم جدید نیز به اندازه $c$ افزایش می‌یابد. * $$y_{\min} = -1 + c$$ **یادآوری:** این قواعد برای توابع کسینوس به شکل $y = \cos bx + c$ نیز کاملاً برقرار هستند.